摘要：

　　本章介绍了二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质，如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值，如何找出某一个元素的前驱和后继，如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比，一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn)，从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、二叉查找树

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示：

书中给出了一个定理：如果x是一棵包含n个结点的子树的根，则其中根遍历运行时间为θ(n)。

问题：二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别？能否利用最小堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？

2、查询二叉查找树

　　二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进行了详细的讲解。

（1）查找SEARCH

　　在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似，根据二叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：首先是关键字k与树根的关键字进行比较，如果k大比根的关键字大，则在根的右子树中查找，否则在根的左子树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右子树中做出选择，减少一半的工作量）

书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码：

（2）查找最大关键字和最小关键字

　　根据二叉查找树的特征，很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字：从根结点开始，沿着各个节点的left指针查找下去，直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树，则以x为根的子树中，最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字：从根结点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码：

（3）前驱和后继

　　给定一个二叉查找树中的结点，找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同，则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点，后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质，不用对关键字做任何比较，就可以找到某个结点的前驱和后继。

　　查找前驱步骤：先判断x是否有左子树，如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点，即是x的前驱。如果没有左子树，则从x继续向上执行此操作，直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程：

　　查找后继步骤：先判断x是否有右子树，如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点，即使x的后继。如果没有右子树，则从x的父节点开始向上查找，直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程：

书中给出了求x结点后继结点的伪代码:

定理：对一棵高度为h的二叉查找，动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。

3、插入和删除

　　插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。

（1）插入

　　插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：

书中给出了插入过程的伪代码：

插入过程运行时间为O(h)，h为树的高度。

（2）删除

　　从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：

<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：

<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：

<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。

书中给出了删除过程的伪代码：

定理：对高度为h的二叉查找树，动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。

1、前言：

　　接着学习动态规划方法，最优二叉查找树问题。如果在二叉树中查找元素不考虑概率及查找不成功的情况下，可以采用红黑树或者平衡二叉树来搜索，这样可以在O(lgn)时间内完成。而现实生活中，查找的关键字是有一定的概率的，就是说有的关键字可能经常被搜索，而有的很少被搜索，而且搜索的关键字可能不存在，为此需要根据关键字出现的概率构建一个二叉树。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数，使得经常用的词汇被放置在前面，这样就能有效地加快查找速度。这就是最优二叉树所要解决的问题。

2、问题描述

　   给定一个由n个互异的关键字组成的有序序列K={k₁<k₂<k₃<,……,<k_n}和它们被查询的概率P={p₁,p₂,p₃,……,p_n}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来标示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d₀<d₁<……<d_n}，对于应d_i的概率序列是Q={q₀,q₁,……,q_n}。其中d₀表示搜索元素小于k₁的失败结果，d_n表示搜索元素大于k_n的失败情况。d_i（0<i<n）表示搜索节点在k_i和k_(i+1)之间时的失败情况。因此有如下公式：

　　由每个关键字和每个虚拟键被搜索的概率，可以确定在一棵给定的二叉查找树T内一次搜索的期望代价。设一次搜索的实际代价为检查的节点个数，即在T内搜索所发现的节点的深度加上1。所以在T内一次搜索的期望代价为：

需要注意的是：一棵最优二叉查找树不一定是一棵整体高度最小的树，也不一定总是把最大概率的关键字放在根部。

（3）动态规划求解过程

1）最优二叉查找树的结构

　　如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字k_i，……，k_j的子树T'，那么这棵子树T’对于对于关键字k_i，……k_j和虚拟键d_i-1，……，d_j的子问题也必定是最优的。

2）一个递归解

　　定义e[i,j]为搜索一棵包含关键字ki，……，kj的最优二叉查找树的期望代价，则分类讨论如下：

当j=i-1时，说明此时只有虚拟键d_i-1，故e[i,i-1] = q_i-1

当j≥i时，需要从k_i，……，k_j中选择一个跟k_r，然后用关键字k_i，……，k_r-1来构造一棵最优二叉查找树作为左子树，用关键字k_r+1，……，k_j来构造一棵最优二叉查找树作为右子树。定义一棵有关键字k_i，……，k_j的子树，定义概率的总和为：

因此如果k_r是一棵包含关键字k_i，……，k_j的最优子树的根，则有：

故e[i,j]重写为：

最终的递归式如下：

3）计算一棵最优二叉查找树的期望搜索代价

　　将e[i,j]的值保存到一个二维数组e[1..1+n,0..n]中，用root[i,j]来记录关键字ki，……，kj的子树的根，采用二维数组root[1..n,1..n]来表示。为了提高效率，防止重复计算，需要个二维数组w[1..n+1,0...n]来保存w(i,j)的值，其中w[i,j] = w[i,j-1]+p_j+q_j。数组给出了计算过程的伪代码：

4）构造一棵最优二叉查找树

　　根据地第三步中得到的root表，可以递推出各个子树的根，从而可以构建出一棵最优二叉查找树。从root[1,n]开始向下递推，一次找出树根，及左子树和右子树。

4、编程实现

　　针对一个具体的实例编程实现，现在有5个关键字，其出现的概率P={0.15，0.10，0.05，0.10，0.20}，查找虚拟键的概率q={0.05，0.10，0.05，0.05，0.05，0.10}。采用C++语言是实现如下：

运行结果：