陈居渊
焦循（1763－1820）字理堂，一字里堂，晚号里堂老人，江苏扬州人。清代乾嘉之际著名学者。焦盾的学术，以易学为专精，熔融象数、义理、数理于一炉，鼎薪炮药，成一家之言。在中国思想史、易学史和清学史上产生过很大的影响。然而学界对他的易学有着密切联系的数理思想则详析者尚不多见。因此，本文就焦循所提出的 “理本自然”、“数先形后”、“名与法”等数理思想与乾嘉学术的关系作一些探讨，以求正于专家学者。
“理本自然”的数学思想，集中体现在焦循所著《加减乘除释》一书中。据焦循自己介绍，“此书主于明加减乘除之理，不复详其术也”。黄承吉在《加减乘除释序》一文中指出：“里堂则以精贯之旨，推之于平易，以为理本自然，取刘徽注九章算术意，著《加减乘除释》” 因此，所谓“理本自然”，即指数学中加减乘除运算的基本法则。焦循在给友人汪晋蕃的信中曾论及编撰《加减乘除释》一书的动机时说：“古人算法，往往求一通以求简便，则愈隐秘而理不明。今欲一一明其理，达其用，括九章之条，且核难题之本原，而以一线通之，著为《加减乘除释》一卷。”（《雕菰集》卷十四《答汪晋蕃书》）将“自然之数”视为“自然之理”，并不是焦循的创见。宋元间著名数学家李冶（1192－1279）在《测圆海镜序》中就指出：“数本难穷，吾欲以力强穷之，彼其数不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。然则数果不可以穷耶？既已名这数矣，则又何为而不可穷也！故为数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则，彼其冥冥之中，固有昭昭者存；夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。” 钱宝琮先生认为李冶正确地指出了“数”是客观存在的反映。在许多错综复杂的现象中，自有“昭昭者存”，这里所谓的“昭昭者”，就是“自然之数”，而它正是“自然之理”的反映。它是可“穷”的，而不是不可“穷”的；是可知的，而不是不可知的。同时正因为它是“自然之理”，所以只能按着它的本来面目去推演而不能“以力强穷”。不过，焦循的所谓“理”还有其特定的含义和对象。他在《天元一释自序》中说：“循主述盈肭和较之理，故析其微芒之所分，阅者勿疑有异义也。”（《雕菰集》卷十六）所谓“盈肭”，即《九章算术》中第七章的“盈不足”，所列二十题都是为给出和运用“盈不足术”（即“双设法”）而编制的。这种“盈不足术”是从大量应用问题的计算中提炼出来的数学模型，也是一种计算方法。它任意假设一个答数，依照题示的条件验算，算出来的结果，和题中表示这个结果的已知数字比较，或是有余或是不足。那么通过两次假设，分别验算盈余和不足的数量，任何一种算术问题都可改造成为盈亏类问题，并按照“盈不足术”都能求出准确的答案。“和较”一名，是由梅文鼎出自对方程的认识而提出的。如他在批评前人为“方程”正名时说：“名不正，则言不顺。诸本方程，皆以二色、三色、四色等，分款立法，而不分和较，宜其端绪纷纠，而说之滋谬也，故先正其名。”正是基于这样一种认识，梅文鼎将“方程”分为：“和数方程”、“较数方程”、“和较杂方程”、“和较交变方程”四种。在中国传统数学著作中，除刘徽的《九章算术注》之外，对数学名词的称谓，一般是“约定俗成”，不作任何解释。梅文鼎之所以为“方程”正名，实是由鉴于当时“诸本方程”（程大位的《算法统宗》、李之藻的《同文算指》、吴敬的《九章比类算法大全》、李长茂的《算海说详等》）的错误，如两方程式相减时出现负数的问题、两方程式相加减时所遵循的正负数运算法则以及消元过程中如何使用加减法问题等。但梅文鼎良好的愿望并没带来积极的效果，他的方程四种分类也颇遭后人的诟病。如焦循就直率地称其为“然求乎加减之原，则和较正负之名，皆为侨设，非其本也”，在焦循看来“和即古所谓并，较即古所谓差”，两数相加为和，两数相减为差，归根结底还是一个加减问题。因此，“盈肭和较之理”，也就是加减之理，这与数学名称不发生直接联系。所以焦循说：“明乎加减之理，盈肭之原，则翻积之指，因浅近无艰奥也。”（《加减乘除释》卷三）谈泰《天元一释序》中说：“其于正负相消，盈肭和较之理，实能抉其所以然。”至于如何来揭示这个“自然之理”，焦循认为“论数之理取以相通，不偏举数，而以甲乙明之”（《加减乘除释》卷一），即以甲、乙、丙、丁等天干文字来表示数，这在当时数学研究领域虽是一项创举。但同样也证明焦循的所谓“理本自然”，也就是通过算学运算来表示的“以算求理”。
焦循的“理本自然”与“以算求理”，也是儒家经世致用思想在数学领域中的反映。刘徽在注释《九章算术》时说：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。”《孙子算经》的序中明言：“夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之始终，万物之祖宗，……穷通德之理，究性命之情。”这表明数学不仅是宇宙的常规，众生的元首，而且还是观察自然、生命和智慧发展变化的征兆，更是探求道德原理和生命的一般规律。唐代王孝通在上《辑古算经》表中说：“臣闻九畴载叙，纪法著于彝伦；六艺成功，数术参于造化。夫为君上者司牧黔首，有神道而设教，采能事而经纶，尽性穷源莫重于算。” 这不但意味着数学与《诗》、《书》、《礼》、《易》、《乐》、《春秋》等儒家六经有着相辅相成的密切关系，而且还具有君王教化百姓，筹划政事，追溯本源的功能。宋代以后，随着理学的兴起，儒家的经世致用传统，渐为性命之学所取代，一切判断是非的标准无不深深地打上理学的印记。在数学研究领域，尽管出现了诸如秦九韶等著名数学家，但同时也出现了一批只懂算理和历理而不懂数学历学的学者，如许衡便是一例。清初杨光先自称也是“但知推步之理，不知推步之数”。 而梅文鼎干脆声称“历生于数，数生于理，理与气偕，其中有神”，以至招至重复朱子之论点的严厉批评。康熙时御纂的《数理精蕴》，在卷首揭出“河图”“洛书”，以见数学的本源，这也正是明未清初尊崇宋明理学在数学研究领域中的体现。乾嘉之际，儒经研究蔚为风气，对传统数学的发掘与研究也再度形成高潮。戴震对《算书十经》的校辑整理，启迪了后来汪莱、李锐等学者对传统算学的研究。被誉为“盖自戴氏出，乃不敢轻言算数，而其道始尊”。 数学成为学者研究经典不可缺少的一门主课和学界的一种时貌风尚。阮元在概括当时学者对数学的重视时指出：“国朝数学昌明，迈越千古，潜心九九之士，后先相望。 ”江藩《汉学师承记》所录五十余位汉学家的行状，其中近一半的汉学家在研究经典的过程中涉及对天文，历算，数学等自然科学的研究和传习活动，阮元把数学比喻为“天地之纲纪，群伦之系统”，强调“通天地人之道日儒，孰为儒者，而可以不知数乎”。 甚至以孤傲自负著称的汪中，对自己不能“明九九之术”而追悔不己，力劝江藩致力于数学研究。阮元组织编撰四十六卷本的《畴人传》，其目的是“综算氏大名，纪步天之正轨，质之艺林，以谂来学，俾知术数之妙，穷幽极微，足以纲纪群伦，经纬天地，乃儒流实事求是之学” ，企图恢复儒学的经世传统。因此，作为经学家的焦循，他“于天步之学好之最深”，志在“俾古学大著于海内”，而他提出的“理本自然”、“以算求理”的数学思想，正是整个乾嘉学术氛围中的具体表现。
二
由鉴于中国传统数学“论法者居多，言理者绝少的缺陷，焦循在“理本自然”的基础上，又提出了“名起于立法之后，理存于立法之先”的著名理论，试图从逻辑与哲学的理论上来弥补中国传统数学的这个缺陷。在中国古代逻辑史上，“名”兼有多种含义。公孙龙在《名实论》中指出：“夫名，实谓也。知此之非不在此也，则不谓也；知彼之非彼也，知彼之不在彼也，则不谓也。”明确界定“名”是用来谓实的，而这个“实”通常被指定为研究的客观事物，如《墨经》“以名举实”、“告以文名，举彼实故也”。“以名举实”不是停留在事物的表面，而是要求深入到事物的本质。荀子则认为“名也者，所以期累实也”。期，会也。累，众多。累实便是指许多事物。所以“名”就是对许多事物的概括反映。“法”指法则、法度、规章。如《周礼天官小宰》：“以法掌祭祀、朝觐、会同、宾客之戒具。”注：“法，谓其礼法也”。焦循认为“名起于法立法之后，理存于立法之先”，他所说的“法”，是指数学中的计算方法，“名”是指数学概念，“理”是上面所说的加减乘除的运算规则。因此“名起于立法之后”，也就是数学的概念不能因事立名，即不能根据研究的具体问题来确定，而应根据解题时所用的方法来立名；而“理存于立法之先”，则意味着数学的原理是客观存在的，先于解题方法。换言之，一切数学概念，都产生于数学的运算规律。乾嘉学者许宗彦曾说：“推步有理有法，法生于数，理不生于法。善言推步者，当明乎理以溯法之原，不当徇法而遗理也。虚理不合于算，固不可用，若虚算不通于理，算亦必有时而穷。”（《鉴止水斋集》卷十五《太阳行度解》），张文虎指出：“中国算书以九章分目，皆因事立名，各为一法。学者泥其迹而求之，往往毕生习算，知其然而不知其所以然。遂有苦其繁而视为绝学者，无它，徒眩其法而不知求其理也。”（《畴人传》三编，卷六）数学中的一些基本概念往往由一个可操作的算法推导而出，这也正是中国古代数学中的一个主要特征。 就实数域的界说而言：分数是“实如法而一，不满法者，以法命之”（除法）；小数是“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母……”（除法与开方）；负数是“今两算得失相反，要令正负以名之”（线性方程组中的加减消元）；无理方根是“若开之不尽者为不可开，当以面名之”（开方）。最大公约数由“更相减损，求其等也”而出，互数则由“求等得一”所揭橥。显然，焦循对名与法的理解，正是对传统数学思想的继承和发展，诚如他指出的那样：“考诸算经，于乘不言法实，于除乃云‘实如法而一’。盖乘法可以相通，故实与法之名不必立，除法不容倒置，故实与法必严以为限也。”这说明“实”与“法”终究取决于算法的性质。如此，名、理、法也就构成了焦循的逻辑思维 。
乾嘉之际，任何的学术研究都是服务于传统经学为其宗旨的。因此焦循的上述逻辑思维，与西方数学纯理念的精神活动有着明显的差异，那就是它具有较为浓厚的人文色彩。如焦循将《九章算术》比于《说文解字》，更证实了这一点。《说文解字》，是乾嘉学者研究儒经的一门主课。清初儒者顾炎武曾倡导“读九经自考文始，考文自知音始”的经典研究方法。乾嘉时戴震重申“六书”为治经之本，他说：“六书也者，文字之纲领，而治经之津涉也。载籍极博，统之不外文字；文字虽广，统之不外六书。纲领既违，伪谬日滋。”（《东原集》卷三《六书论序》）戴震的弟子，著名经学家段玉裁对《说文解字》的孜孜求索，其研究成果《说文解字注》被后人誉为“段学”。然而许宗彦在指出其表现时却说：“夫六书特小学之一耳。古之时，唯年十五以下者为之。今者则穷老毕精竭虑于此，而犹不能尽通。将由是考其辞，复由辞以知其义，而其于道之成，则虽假以彭聃之寿，而亦有所不能及矣。”（《鉴止水斋集》卷十六《原学》）许宗彦对乾嘉学者热衷于字义训诂之学的批评，是有其理由的。但他并不了解乾嘉学者运用小学训诂方法，重新研究经注，目的是破除附会于宋明理学的注解，恢复原始儒学的本真。然而焦循将《九章算术》比于《说文解字》，实是看到数学所体现的逻辑思维同样适用于经学研究。比如《易》学。他说：“算法之甲乙丙丁皆是借用，而《易》辞有借用，亦有实指。”又说：读《易》者当如学算者之求其法于甲乙丙丁。夫甲乙丙丁指识其法也，《易》之辞指识其卦爻之所之，以分别当位、失道也。”（《寄王伯申书》，《焦里堂先生佚文》）在焦循的数学研究中，甲乙丙丁等文字仅仅是他寻求数学运算规则的借用符号，它不具有任何实质性的意义。但焦循将甲乙丙丁这类抽象符号用于《易》学研究，却赋于了新的内涵，从而将《易》的象数体系转化为一个具有数学符号化意义的逻辑演绎体系。我们知道，作为《周易》经的主要组成部分的便是所谓的卦辞和爻辞，其中常见的概念是：吉、咎、悔、吝、凶等作为判断的称谓；吉中又分为大吉、小吉、小事吉，元吉，贞吉、小贞吉，夙吉，吉亨等；咎又有无咎，无大咎，终无咎等；悔有无悔，有悔，小有悔等；吝有贞吝，小吝等；凶则分大贞凶，贞凶，终凶，见凶，起凶等。所有这些词语表达的概念，都有其自身所蕴含的特定意义。如吉不能为非吉，大吉不能为小吉。在吉中并不包含非吉的因素，不是吉与非吉的同一。又如《系辞》中说“一阴一阳之谓道”；“一阖一辟谓之变”；“日月运行，一寒一暑”，这些也都遵循形式逻辑的同一律。如阴阳的结合才是“道”，其中缺少一阴或一阳，都不能成为其“道”。同理，只有“一寒一暑”才能构成日月的“运行”，单是寒或暑，则无法构成日月的运行；门的一开一阖才构成“变”，没有关和合，变化就无法产生等等。《易》学中所蕴含的这种逻辑思维的判断与推理，也为焦循所发现，所以他说：“辞也者，各指其所之，所之者何？即刚柔之相推者也。刚柔者，爻也，就其反对而序之，无以见其变化也；推而使有所之，乃生变化。六十四卦之序不动，而有所之乃动。”所谓“所之乃动”，也就是事物的相互对比，才能作为事物运动变化的条件，如同数学中的甲乙丙丁的字符一样，“此《易》辞全在明伏羲设卦观象，指其所之，故不言义理。但用字句之同以为向导，令学者按之而知三百八十四爻之行动如读句股割圆之书，按其甲乙丙丁等字，于其同者，即知线之所移”。“而卦画之所之，其比例齐同有似九数。其辞则指其所之，亦如句股割圆用甲乙丙丁子丑等字，指其变动之迹。吉凶利害，视乎爻之所之，泥乎辞以求，不啻泥甲乙丙丁子丑之义以索算数也。”（《雕菰集》卷十三《与朱椒堂兵部书》）焦循正是运用了这种“类比”“引申”简单的逻辑思维，创立了“旁通”、“相错”、“时行”等特有的演绎推理系统，在《易》学研究中取得了令人注目的成就。
焦循的《易》学研究发悟于算学，以数理勾通《易》理，并从两者的联系中进一步探索《易》学的意义，已如上述，然而他的名法思想，却另有其学术渊源。明未清初，随着原始儒学的复兴，已成绝学的先秦名、墨逻辑学也得到了重新发掘，方以智、顾炎武、王夫之等学者不仅研究儒学，而且在古典科学总结中，在经学音学等考证中，在关于古代哲学的总结思考中，也各自总结出许多具有逻辑意义的研究方法。特别是由西方传教士带来的西欧科学文化，通过徐光启翻译的《几何原本》和李之藻翻译的《名理探》，古希腊的欧几里德几何学与亚里士多德的逻辑学被介绍到中国，并为学者所汲取。乾嘉时期，一方面诸子学兴起，长期被忽视的荀、墨、名诸家的著作络续被刊刻和重视，自秦以来，被历代正统派视为异端的墨子，特别是《墨经》和《大取》《小取》，这时则对之展开了真正科学历史的研究和整理，发展了墨经逻辑的科学思想。如汪中的《荀卿子通论》和《墨子后序》，张惠言的《墨了经说解》，毕沅的《墨子注》，王念孙的《读墨子杂志》等，章学诚对修辞与说理的意见，也都涉及逻辑问题。一方面以《几何原本》、《名理探》为代表的西学与中学的优劣之争，也成为学者关注的焦点。适逢其时的焦循，不能不同时受到来自两方面的影响。如果说他的名法思想乃囿于传统逻辑思维的话，那么他由此而提出的“数先形后”的思想，则明显烙有西学的印记。
三
“数在形先”是焦循的又一个重要的数学思想。如何理解数学中的数与形，他在《加减乘除释》中说：“西人萨几里德《几何原本》一书，精于说形，梅勿庵明以句股之理。夫论形未有不本诸句股，犹论数未有不本加减乘除也。学者由数以知形，由形以用数，悉诸加减乘除之理，自可识方圆幂积之妙。” 焦循虽然将数学总体上分为数与形，但他是把加减乘除作为研究“数”的基础，而“形”只是“数”的具体运算的最终形式。换言之，“数”通过对“形”的分析和推证来实现化形为数，以数论形。“故平方立方纵方，生于加减乘除，而加减乘除所生而致者实尽乎此。勾股者，生于形者也，形复生形，而非数天以驭，则加减乘除，又为勾股之所用也。”、“学者由数知形，由形以用数。”（《加减乘除释》卷三）在中国古代数学中，“借形论数”与“寓理于算”一样，也是其主要特征之一。借形论数是指借助于对几何图形的直观分析来推证数量关系的一种思想方法。如赵爽用勾股圆方图及若干勾股恒等式所作的论说；刘徽借助于面积和体积的图解对开平方的说明；刘徽运用割补法对整勾股数公式的论证；祖暅利用八公之一牟合方盖对球体积公式的阐说；梅文鼎借鳖臑而论球面三角形的边角关系；明安图创割圆密率捷法，运用几何方法对初等函数级数展开式的研究；董祐诚作《割圆连比例图解》，对正弦、正矢与弧度间的依存关系的阐明；以及李善兰创立尖锥术，利用尖锥面这一几何模型来处理代数问题等等。当然，除了借形论数外，还有借数论形的。例如比率算法、高次方程数值解法、开元术等在几何领域中的广泛应用都是借数论形的表现。典型的例子则有刘徽的重差理论；王孝通用三、四次方程求解立方体积问题；李冶用“天元术”解决“勾股容圆”的几何问题等。 由于中国古代的图形研究表现为数量的计算，它以长度、面积和体积等度量为主要对象，而一般不注重图形性质与位置关系的研究，甚至中国古代几何学不讨论角的性质与度量。几何对象的度量化，使古典算学“以算为主”的特点得以充分体现；而形与数的结合突出表现为几何方法与代数方法的相互渗透。‚ 因此无论是“借形论数”抑或“借数论形”，数与形都是相辅相成，互相联系的。焦循从加减乘除的理论出发，提出“数先形后”，一方面是将几何的原理与方法纳入至算术中去，另一方面强调“数”渊源于“形”，从而完成形与数的有机结合。
焦循“数先形后”的思想的提出，既有他对中国传统数学的深刻理解，也有他对来自西方数学冲击的反思和汲取。如上所述，乾嘉之际随着学界复古思潮的兴起，中国传统数学也得到了学者的重视，与焦循一起被称为“谈天三友”的汪莱、李锐也都是在钻研宋元数学家的高次方程解法的基础上，从而在方程论方面作出了杰出的贡献。另一方面，由明末清初传入中国的西方自然科学，特别是古希腊学者欧几里得的《几何原本》经过徐光启、梅文鼎等人的传播，也成为后来乾嘉数学研究者讨论的热点。如阮元指出当时“甄明度数，洞晓《几何》者，后先辈出”，李锐认为：“《天学初函》诸书当以《几何原本》为最，以其不言数而颇能言数之理也。”与李锐一样，焦循也阅读过《几何原本》，这在他的著述中一再提及就是明证。如他认为“欧人萨几里德《几何原本》一书，精于说形”、“西法《几何原本》，列比例之法一十有二”、“惟勾股有连比例三率，法详《几何原本》”、“《几何原本》有两线平行之率”、“对角外角之理，详于《几何原本》”，甚至对乡前辈孙兰精通《几何原本》叹服不已。更为可贵的是焦循在分析了中西二家后认为：“徐氏辑新法律书，西、汉渐备。于第谷、穆尼图，噶西尼三徒各运其巧思，积久而密。后之学者或执中以辟西，或用西而谤中，或援西于中，或以中证西，互持其理。”（《湖海文传》卷四十三）显然，尽管当时学者对西学的看法并不统一，但西学作为一种外来文化，特别是数学已为学者接受和消化。因此焦循在《加减乘除释》中提出的“论数之理，取于相通，不偏举数而以甲乙明之”，显然深受《几何原本》“不言数而颇能言数之理”的启迪。同样，焦循将算学分成“数”与“形”，而融通两者的则予以比例计算，而“比例”一词也正出自《几何原本》。数与形，两者均可以用比率算法一线通之。两者的区别只是，前者简单，后者复杂，两者的是量的，并无质的不同。《几何原本》中的“比例”之所以极受青睐，乃是因为它能沟通“数”与“形”，它既属于形（整个《几何原本》都属形），又可以与比率协调起来。于是《几何原本》中的“比例”概念便负担起调和中西数学、瓦解“数”与“形”之间质的区别的概念。焦循对《几何原本》的关注一般都是些基本理论问题，如量与数。他尤其注重“量”与“数”以及“相等”“大小”“倍”等范畴。 由此可见，焦循的“数先形后”思想同样深受《几何原本》的影响。不过，生活于乾嘉后期的汉学家，虽然汲取了西学的养料，但他们更熟悉儒家经典，儒家学说总是起着启蒙奠基的作用，因此西方数学经过中国传统数学的精心包装，既能满足一部分士大夫的崇古心理，也能名正言顺地继续从事数学研究。而这种研究工作恰恰体现了算学逐渐走向儒学化，焦循曾明确说：“天算之学有二端，守当时成法，布策推算，无有差戾，术士之学也；明其义蕴，贯而通之，阐发古先，以启来者，儒者之学也。” （《雕菰集》卷十五《修补六家术序》）也正因此，阮元独具慧眼，赞赏焦循“会通两家，不主一偏之见” 的数理思想是儒流之典范。
总之，焦循数理思想的形成，正值世纪交替之际，此时汉学在思想文化领域的影响也正逐渐消退，学术倾向交临于个性的再自觉。我们今天探讨焦循的数理思想与乾嘉术的关系，并不是为了判定其正确与否，而是认同他在人类已有科学知识的基础上继往开来，推陈出新，摆脱陈规旧习的束缚，提出新的假设或理论，从而为我们重新评估乾嘉学术提供了新的视角。
（本文是作者在2002年中国思想史国际学术研讨会上的论文。作者:陈居渊，复旦大学哲学系副教授。）
刘纯《中国古代数学的主要特征及其历史与现实意义》，《自然辩证法通讯》1993年，第五期。
袁小明《论中国古典数学的思维特征》，《自然科学史研究》第九卷，第四期，1990年版。